Question

（2009•天津）已知函数y₁=x，y₂=x²+bx+c，α，β为方程y₁-y₂=0的两个根，点M（t，T）在函数y₂的图象上．
（Ⅰ）若α=，β=，求函数y₂的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数y₁与y₂的图象的两个交点为A，B，当△ABM的面积为时，求t的值；
（Ⅲ）若0＜α＜β＜1，当0＜t＜1时，试确定T，α，β三者之间的大小关系，并说明理由．

Answer

（1）问通过把α=，β=分别代入y1-y2=0，确定b，c的值而求得函数y2的解析式；
（2）问关键在于明确|t-T|=h这一等量关系才能求得t的值；
（3）问难度较大，比较T、α、β的大小需要正确理解0＜α＜β＜1及0＜t＜1在整式变形中分类应用．
【解析】
（1）∵y1=x，y2=x2+bx+c，y1-y2=0，
∴x2+（b-1）x+c=0．
将α=，β=分别代入x2+（b-1）x+c=0，
得（）2+（b-1）×+c=0，（）2+（b-1）×+c=0，
解得b=，c=．
∴函数y2的解析式为y2=x2+x+．

（2）由已知得：A（，），B（，），得AB==，
设△ABM的高为h，
∴S△ABM=AB•h=h=，即h=，
根据题意：|t-T|=h，
由T=t2+t+，
得：|-t2+t-|=，
当t2-t+=-时，解得：t1=t2=；
当t2-t+=时，解得：t3=，t4=；
∴t的值为：，，；

（3）由已知，得α=α2+bα+c，β=β2+bβ+c，T=t2+bt+c．
∴T-α=（t-α）（t+α+b）；
T-β=（t-β）（t+β+b）；
α-β=（α2+bα+c）-（β2+bβ+c），
化简得（α-β）（α+β+b-1）=0．
∵0＜α＜β＜1，得α-β≠0，
∴α+β+b-1=0．
有α+b=1-β＞0，β+b=1-α＞0．
又∵0＜t＜1，
∴t+α+b＞0，t+β+b＞0，
∴当0＜t≤a时，T≤α＜β；
当α＜t≤β时，α＜T≤β；
当β＜t＜1时，α＜β＜T．