Question

（2008•广安）如图，已知抛物线y=x²+bx+c经过点（1，-5）和（-2，4）
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设此抛物线与直线y=x相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于y轴的直线x=m（0＜m＜+1）与抛物线交于点M，与直线y=x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）；
（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式；
（2）因为点B是y=x与y=x2-2x-4的交点，根据题意可求得N，M的坐标，则可表示出MN的长，通过纵坐标的绝对值的和求得；
（3）把△BOM分成两个△OMN与△BMN，把MN作为两个三角形的底，通过点B，P的纵坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积．
【解析】
（1）由题意把点（1，-5）、（-2，4）代入y=x2+bx+c得：
，
解得b=-2，c=-4，（3分）
∴此抛物线解析式为：y=x2-2x-4；

（2）由题意得：，
∴x2-3x-4=0，
解得：x=4或x=-1（舍），
∴点B的坐标为（4，4），
将x=m代入y=x条件得y=m，
∴点N的坐标为（m，m），
同理点M的坐标为（m，m2-2m-4），点P的坐标为（m，0），
∴PN=|m|，MP=|m2-2m-4|，
∵0＜m＜+1，
∴MN=PN+MP=-m2+3m+4；

（3）作BC⊥MN于点C，
则BC=4-m，OP=m，
S=MN•OP+MN•BC，
=2（-m2+3m+4），
=-2（m-）2+12，（11分）
∵-2＜0，
∴当m-=0，则m=时，S有最大值．