Question

如图，O是原点．点P（x，y）且x+y=8，点A的坐标为（6，0），设△OPA的面积为S．
（1）用含x的解析式表示S，写出x的取值范围．
（2）若点P在第一象限内，当点P所在的直线与X轴，Y轴分别相交于点B和C，且满足△BAP∽△CPO，求此时△OPA的面积．
（3）是否存在点P，使△OPA是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）本题要分两种情况解答（当点P在第一、二象限内；当点P在第四象限内和x轴上时）．
（2）过点P作PQ⊥X轴，交x轴于点Q，证明△BAP∽△CPO后利用线段比求出x的值，易求S△OAP．
（3）本题要分三种情况解答（OA=OP；PO=PA；AO=AP）．
【解析】
（1）∵x+y=8，∴
y=-x+8，即y是x的一次函数，
∴它过的象限为一，二，四，
①当点P在第一、二象限内．
∵A和P点的坐标分别是（6，0）、（x，y），
∴S=3y．
∵x+y=8，∴y=8-x．
∴S=3（8-x）=24-3x．
∴所求的函数关系式为：S=-3x+24，（x＜8）；（1分）
②当点P在第四象限内和x轴上时．
S=OA•|y|=-3y=-3（8-x）=-24+3x，（x≥8）．                    （2分）

（2）过点P作PQ⊥X轴，交x轴于点Q．
∵∠OBC=45°，
∴BP=y．
∴CP=（8-y）
∵△BAP∽△CPO，
∴，
即=
∴x=4±2．
∴S△OAP==12±6．

（3）①当OA=OP时，得点P1（2，6），P2（14，-6）；
②当PO=PA时，得点P3（3，5）；
③当AO=AP时得点．     （5分）