Question

如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线CD∥x轴交抛物线于D点．动点P，Q分别从C，D两点同时出发，速度均为每秒1个单位，点P向射线DC方向运动，点Q向射线BD方向运动，设P，Q运动的时间为t（秒），AQ交CD于E．
（1）求线段AB与线段CD的长；
（2）求△APQ的面积S与t的函数关系式；
（3）连接BE．是否存在这样的时刻t，使得∠AEB=∠BDC？若存在请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先令y=0，求出A，B，两点的坐标，再令x=0，求出C点坐标，即可求出C，D两点的坐标，再用两点间的距离公式求出AB，CD两点间的距离即可．
（2）作PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，DH⊥x轴于H，由（1）中所求A，B，C，D，的坐标，根据三角形相似可求出PF，QG，FG，的长，再利用梯形的面积减去△APF与△BQG的面积即可．
（3）若∠AEB=∠BDC，则根据△AEC∽△EBD，△QED∽△QAB求出t的值．
【解析】
（1）当y=0时，（x-6）（x-19）=0，
∴x1=6，x2=19，
∴x1=6，x2=19，
∴A（6，0），B（19，0），
∴AB=13．
当x=0时，y=8，
∴C（0，8）．
当y=8时，（x-6）（x-19）=8，
解得x1=0，x2=25，
∴D（25，8），
∴CD=25．

（2）如图，
作PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，DH⊥x轴于H，
∵CD∥x轴，
∴PF=DH=OC=8，OH=CD=25，
∵OA=6，OB=19，
∴BH=OH-OB=6，
∴BD==10，
∵△BDH∽△BQG，
∴==．
由题意得CP=DQ=t，AF=t+6，
∴==，
∴QG=t+8，BG=t+6，
∴FG=t+19+t+6=t+25．
∴S=S梯形PFGQ-S△PAF-S△AQG=（PF+QG）•FG-AF•PF-AG•QG=t2+8.8t+100．

（3）∵AC=BD=10，
∴四边形ABDC为等腰梯形，
∴∠ACD=∠BDC．
若∠AEB=∠BDC，则∠AEC+∠BED=∠BED+∠EBD，
∴∠AEC=∠EBD．
同理，∠BED=∠EAC．
∴△AEC∽△EBD．
∴=，
即=，
∴DE=5（DE=20＞AB=13舍去），
∵△QED∽△QAB，
∴=，
即=，
解得t=．