Question

（2004•太原）已知：如图△ABC中，高AD和BE相交于点H，且HA=HC．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）用直尺和圆规画出经过B、H、C三点的⊙O（不写画法）；
（3）证明EC是⊙O的切线．

Answer

（1）根据题意HA=HC，由等腰三角形的性质可得∠1=∠3，圆内接四边形的性质可得∠3=∠2；联立可得∠1=∠2；
（2）根据三角形外接圆的作法可得答案；
（3）连接CO并延长交⊙O于F，连接FH，根据角的关系，易得∠1+∠FCH=90°，即EC⊥FC，故可得EC是⊙的切线．
（1）证明：在△AHC中；
∵HA=HC，
∴∠1=∠2（1分），
∵AD⊥BC，BE⊥AC，∠AHE=∠BHD，
∴∠3=∠2（1分），
∴∠1=∠2；（1分）

（2）画图正确；（2分）

（3）证明：连接CO并延长交⊙O于F，连接FH，则∠F+∠FCH=90°；
由（1）知∠1=∠2，
∵∠F=∠2，
∴∠F=∠1，
∴∠1+∠FCH=90°，
∴EC⊥FC，
∴EC是⊙的切线．