Question

（2005•扬州）已知抛物线y=x²+（2n-1）x+n²-1（n为常数）．
（1）当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；
（2）设A是（1）所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C．
①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；
②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标．如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）将原点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出n的值，然后根据抛物线顶点在第四象限将不合题意的n值舍去，即可得出所求的二次函数解析式；
（2）①先根据抛物线的解析式求出抛物线与x轴另一交点E的坐标，根据抛物线和矩形的对称性可知：OB的长，就是OE与BC的差的一半，由此可求出OB的长，即B点的坐标，然后代入抛物线的解析式中即可求出B点纵坐标，也就得出了矩形AB边的长．进而可求出矩形的周长；
②思路同①可设出A点坐标（设横坐标，根据抛物线的解析式表示纵坐标），也就能表示出B点的坐标，即可得出OB的长，同①可得出BC的长，而AB的长就是A点纵坐标的绝对值，由此可得出一个关于矩形周长和A点纵坐标的函数关系式，根据函数的性质可得出矩形周长的最大值及对应的A的坐标．
【解析】
（1）由已知条件，得n2-1=0
解这个方程，得n1=1，n2=-1
当n=1时，得y=x2+x，此抛物线的顶点不在第四象限．
当n=-1时，得y=x2-3x，此抛物线的顶点在第四象限．
∴所求的函数关系为y=x2-3x；

（2）由y=x2-3x，
令y=0，得x2-3x=0，
解得x1=0，x2=3
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）
∴它的顶点为（，），对称轴为直线x=，其大致位置如图所示，
①∵BC=1，易知OB=×（3-1）=1．
∴B（1，0）
∴点A的横坐标x=1，又点A在抛物线y=x2-3x上，
∴点A的纵坐标y=12-3×1=-2．
∴AB=|y|=|-2|=2．
∴矩形ABCD的周长为：2（AB+BC）=2×（2+1）=6．
②∵点A在抛物线y=x2-3x上，故可设A点的坐标为（x，x2-3x），
∴B点的坐标为（x，0）．（0＜x＜）
∴BC=3-2x，A在x轴下方，
∴x2-3x＜0，
∴AB=|x2-3x|=3x-x2
∴矩形ABCD的周长，
C=2[（3x-x2）+（3-2x）]=-2（x-）2+，
∵a=-2＜0，抛物线开口向下，二次函数有最大值，
∴当x=时，矩形ABCD的周长C最大值为．
此时点A的坐标为A（，）．