Question

如图，圆O与直角三角形ABC的边AB，AC相切于D、E，已知∠BAC=60°，AB=4cm，圆O的半径为1cm，则AD=    cm；若圆O在三角形内沿内壁以每秒1cm的速度匀速滚动，则滚动一周所用的时间是    秒．

Answer

（1）连接OA和OD，根据切线的性质可知：OD⊥OA．在Rt△AOD中，利用三角函数定义可求AD的长；
（2）通过⊙O与Rt△ABC各边相切，可将⊙O所滚动的路线求出．
【解析】
（1）连接OA，OD．
∵圆O与直角三角形ABC的边AB，AC相切于点D、点E，
∴∠OAD=∠BAC=30°．
∵OD=1，
∴AD=cot30°×OD=；

（2）连接CO1，NO1
在Rt△ABC中，BC=，AC=8，
⊙O在Rt△ABC中所滚动的路线为Rt△OO1O2的周长．
∵AB=4，AD=，BP=1，
∴OO2=4-1-=3-．
∵CN=cot（∠C）×NO1=cot15°×1=2+，BC=，
∴O1O2=-（2+）-1=-3．
∴OO1=8-（2+）-=6-．
∴Rt△OO1O2的周长为6-+-3+3-=6．
∴⊙O滚动一周所用的时间为=6秒．