Question

如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为
（12，0），点D的坐标为（8，4），动点E从点A出发，沿y轴正方向以每秒1个单位的速度移动；同时动点F从点A出发，在线段AD上以每秒2个单位的速度向点D移动．当点F与点D重合时，E、F两点同时停止移动．设点E移动时间为t秒．
（1）求当t为何值时，三点C、E、F在同一直线上；
（2）设顺次连接OCFE，设这个封闭图形的面积为S，求出S与t之间的函数关系及自变量t的取值范围；
（3）求当t为何值时，以O、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？

Answer

（1）当C、E、F在一条直线上的时候．很显然三角形EAF和EOC相似，那么可通过相似三角形的对应线段成比例来得出关于EA、AF、EO，OC的比例关系，根据E，F的速度，可以用时间t表示出EA、AF、EO的长，那么根据这个比例关系即可求出t的值．
（2）可将OCFE的面积分成三角形EAF和梯形AFCO两部分来计算．三角形EAF中，可以用t表示出EA、AF，梯形AFCO中，AF已经用t表示出来，而OA和OC可以用A、C的坐标求出，因此根据三角形和直角梯形的面积公式即可得出S与t的函数关系式．
（3）可分三种情况进行讨论：
当OE=EF，E为顶点时；当OF=OE，O为顶点时；当OF=FE，F为顶点时．
然后用各点的坐标根据坐标系中点与点之间的距离公式表示出这些相等的线段求出t的值．
【解析】
（1）当三点C、E、F在同一直线上时，
△EAF∽△EOC，
则可得：
解得t=2
即当t=2时，三点C、E、F在同一直线上

（2）由已知得S=S△EAF+S梯形AOCF=+
=+4t+24
自变量t的取值范围为0＜t≤4；

（3）分3种情况：
当OF=EF时，AO=EA，则t=4
当OF=OE时，OF2=OE2，则（4+t）2=42+4t2
解得t=
当EF=OE时，EF2=OE2，则（4+t）2=t2+4t2
解得t=
所以t的值为：4或或．