Question

如图，开口向下的抛物线y=ax²-8ax+12a与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在第一象限，且使△OCA∽△OBC．
（1）求OC的长及的值；
（2）设直线BC与y轴交于P点，点C是BP的中点时，求直线BP和抛物线的解析式．
（3）x轴上是否存在一点Q，使△OCQ是等腰三角形？不存在，请说明理由；存在，写出Q点坐标．

Answer

（1）令抛物线中y=0，可得出A、B的坐标，即可确定OA，OB的长．根据△OCA∽△OBC，可得出关于OC、OA、OB的比例关系式即可求出OC的长．
根据图象可知：BC2：AC2正好是三角形OBC和三角形OAC的面积比，而这两个等高三角形的面积比等于底边OB、OA的比，因此BC2：AC2=OB：OA，据此可求出的值．
（2）C是BP中点，因此C的横坐标是B点横坐标的一半，在（1）中已经求得了OC的长，因此不难得出C点的坐标．将C点坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式，根据B、C的坐标，可用待定系数法求出直线BP的解析式．
（3）应该有四个符合条件的点：
①以O为圆心，OC为半径作弧，交x轴于两点，这两点均符合Q点要求，此时OC=OQ，已知了OC的长，即可求出Q点坐标．
②以C为圆心，CO为半径作弧，交x轴于两点，除O点外的另一个交点也符合Q点要求，此时CO=CQ，Q点坐标是C点坐标的2倍，由此可求得Q点坐标（其实此时Q与B重合）．
③作OC的垂直平分线，与x轴的交点，也符合Q点要求，此时OQ=CQ，可设出Q点坐标，用坐标系两点间距离公式表示出QO和CQ的长，即可求出Q点坐标．
【解析】
（1）由题设知a＜0，且方程ax2-8ax+12a=0有两二根x1=2，x2=6，
于是OA=2，OB=6，
∵△OCA∽△OBC，
∴OC2=OA•OB=12，
即OC=2，
而===3，
故；

（2）∵C是BP的中点
∴OC=BC从而C点的横坐标为3，
又∵OC=2
∴C（3，），
设直线BP的解析式为y=kx+b，
因其过点B（6，0），C（3，），
则有，
∴．
∴y=-x+2，
又点C（3，）在抛物线上，
∴=9a-24a+12a，
∴a=-，
∴抛物线解析式为：y=-x2+x-4；

（3）点Q的坐标分别为（2，0）、（-2，0）、（6，0）、（2，0）．