Question

（2006•黔东南州）某村王大爷家有一块梯形形状的稻田（如图所示），已知：上底AD=40米，下底BC=60米，高h=30米，王大爷准备把这块梯形形状的稻田平均分给两个儿子（面积相等）．
（1）分割方法有无数种，请你帮助王大爷设计两种不同的分割方案，在图1、图2中分别画出来，并说明理由；
（2）为了尽可能减少筑砌分割田坎的劳动量（只考虑田坎长度对工时的影响，不计其它因素），问：田坎应砌在什么位置最短？请在图3中画出来，并求出此时分割线的长度．

Answer

（1）①利用上下底的中点分割，可分割成两个上下底分别相等的梯形；
②连接BD，利用BD的中点O，沿AO和CO分割，即可分割成两个面积相等的四边形ABCO和ADCO；
（2）利用垂线段最短，所以可取①中分割线的中点，过该点作底的垂线段即可，此时该线段等于梯形的高．
【解析】
（1）方法一：分别取AD、BC的中点E、F，连接EF，线段EF就是所求作的分割线．
（2分）
理由：∵AE=ED，BF=FC，
∴SABEF=（AE+BF）h=（ED+FC）h=SEFCD；（3分）

方法二：连接BD，在BD上取中点O，连接AO、CO，折线AOC可以把梯形分割为两个面积相等的图形．

理由：∵BO=OD，∴S△ABO=S△AOD，S△BOC=S△DOC，
∴S'△ABO+S'△BOC=S'△AOD+S'△DOC，
同理，连接AC，取中点O，连接BO、OD，折线BOD可以把梯形分割为两个面积相等的图形；（6分）

方法三：取CD的中点G，过G作FH∥AB，与BC交于F，与AD的延长线交于点H．

可证：S'△DHG=S'△CFG，则过AF中点O且不穿越△DHG或△CFG或G点的直线均可把梯形面积等分；
（注意：方法（1分），理由（2分），共6分）

（2）田坎应砌在经过EF中点且与AD、BC垂直的线段GH的位置时最短．

理由：∵O是EF的中点，∴△EOG≌△FOH，
∴S'△EOG=S′△FOH，∴S′ABHG=S′GHDC，
此时，最短线段GH的长度等于高，即为30米．（10分）