Question

（2009•杭州）已知平行于x轴的直线y=a（a≠0）与函数y=x和函数y=的图象分别交于点A和点B，又有定点P（2，0）．
（1）若a＞0，且tan∠POB=，求线段AB的长；
（2）在过A，B两点且顶点在直线y=x上的抛物线中，已知线段AB=，且在它的对称轴左边时，y随着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；
（3）已知经过A，B，P三点的抛物线，平移后能得到y=x²的图象，求点P到直线AB的距离．

Answer

（1）设B点坐标为（m，n），利用三角函数求出m与n的值以及点A的坐标．
（2）依题意可知抛物线开口向下，设点A（a，a），B（，a）求出a值．设二次函数为y=k（x+把点A代入求得k值以及函数解析式．
（3）依题意可求出抛物线的对称轴为x=+．把点A的坐标代入解析式求出a值．
【解析】
（1）设第一象限内的点B（m，n），
则tan∠POB=，
得m=9n，
又点B在函数y=的图象上，得n=，
所以m=3（-3舍去），
点B为（3，），
而AB∥x轴，所以点A（，），
所以AB=3-．

（2）由条件可知所求抛物线开口向下，
设点A（a，a），B（，a），
则AB=-a=，
所以3a2+8a-3=0，
解得a=-3或a=．
当a=-3时，点A（-3，-3），B（-，-3），
因为顶点在y=x上，
所以顶点为（-，-），
所以可设二次函数为y=k（x+）2-，
点A代入，解得k=-，
所以所求函数解析式为y=-（x+）2-
同理，当a=时，所求函数解析式为y=-（x-）2+；

（3）设A（a，a），B（，a），由条件可知抛物线的对称轴为x=+，
设所求二次函数解析式为：y=（x-2）（x-（a+）+2），
点A（a，a）代入，
解得a1=3，，
所以点P到直线AB的距离为3或．