Question

如图，正△ABC的面积是8，取正△ABC的内心O₁，以O₁B为边长作正△O₁BP₁，再取正△O₁BP₁的内心O₂，以O₂B为边长作正△O₂BP₂，…，依次规律作第2009个正△O₂₀₀₉BP₂₀₀₉．则△O₂₀₀₉BP₂₀₀₉的面积是    ．

Answer

根据正三角形的内心和外心重合，则每后一个正三角形的边长是前一个正三角形的外接圆的半径，它们的边长比是．再根据相似三角形的面积比是相似比的平方，得每后一个正三角形的面积是前一个正三角形的面积的，所以要求的正三角形的面积是．
【解析】
如图；
Rt△O1BD中，∠O1BD=30°；
∴=cos30°=；
∴==，
∴S△O1BP1=S△ABC=；
同理可求得S△O2BP2=S△O1BP1=×S△ABC=（）2×8；
依此类推，S△OnBPn=（）n×8=；
当n=2009时，△O2009BP2009的面积是．