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(2009•湖州)如图,在等边△ABC中,D、E、F分别是BC,AC,AB上的点,且DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF与△ABC的面积之比等于( )
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A.1:3
B.2:3
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三角形的面积=×高×底,所以相似三角形的面积之比等于边之比的平方,由DE⊥AC,EF⊥AB,FC⊥BC得出△DEF与△ABC的角对应相等,即:△DEF∽△CAB,求出两个三角形的边之比即可,又知△ABC是正三角形,所以∠B=∠C=∠A=60°,利用余弦和正弦定理求出两个三角形的边之比. 【解析】 ∵DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC, ∴∠C+∠EDC=90°,∠FDE+∠EDC=90°, ∴∠C=∠FDE, 同理可得:∠B=∠DFE,∠A=DEF, ∴△DEF∽△CAB, ∴△DEF与△ABC的面积之比=()2, 又∵△ABC为正三角形, ∴∠B=∠C=∠A=60°,△EFD是等边三角形, ∴EF=DE=DF, 又∵DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC, ∴△AEF≌△CDE≌△BFD, ∴BF=AE=CD,AF=BD=EC, 在Rt△DEC中, DE=DC×sin∠C=DC,EC=cos∠C×DC=DC, 又∵DC+BD=BC=AC=DC, ∴==, ∴△DEF与△ABC的面积之比等于:()2==1:3. 故选:A.
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