Question

（2009•湖州）如图，已知Rt△ABC，D₁是斜边AB的中点，过D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，连接BE₁交CD₁于D₂；过D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，连接BE₂交CD₁于D₃；过D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此继续，可以依次得到点D₄，D₅，…，D_n，分别记△BD₁E₁，△BD₂E₂，△BD₃E₃，…，△BD_nE_n的面积为S₁，S₂，S₃，…S_n．则S_n=    S_△ABC（用含n的代数式表示）．

Answer

根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质．
【解析】
易知D1E1∥BC，∴△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等，以此类推；
根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D1E1=BC，CE1=AC，S1=S△ABC；
∴在△ACB中，D2为其重心，
∴D2E1=BE1，
∴D2E2=BC，CE2=AC，S2=S△ABC，
∵D2E2：D1E1=2：3，D1E1：BC=1：2，
∴BC：D2E2=2D1E1：D1E1=3，
∴CD3：CD2=D3E3：D2E2=CE3：CE2=3：4，
∴D3E3=D2E2=×BC=BC，CE3=CE2=×AC=AC，S3=S△ABC…；
∴Sn=S△ABC．