Question

（2012•南开区二模）在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F．设BP=x，△BEF的面积为y，则能反映y与x之间关系的图象为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

分析，EF与X的关系，他们的关系分两种情况，依情况来判断抛物线的开口方向．
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD=2，OB=OD=BD=，
①当P在OB上时，即0≤x≤，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC=BP：OB，
∴EF=2BP=2x，
∴y=EF•BP=×2x×x=x2；
②当x在OD上时，即＜x≤2，
∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴EF：AC=DP：OD，
即EF：2=（2-x）：，
∴EF=2（2-x），
∴y=EF•BP=×2（2-x）×x=-x2+x，
这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知：
二次函数的图象是一条抛物线，开口方向决定，二次项的系数．
当系数＞0时，抛物线开口向上；系数＜0时，开口向下．所以由此图我们会发现，EF的取值，最大是AC．当在AC的左边时，EF=2BP；所以此抛物线开口向上，当在AC的右边时，抛物线就开口向下了．故选C．