Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为A（4，4），且抛物线经过原点，和x轴相交于另一点B，以AB为一边在直线AB的右侧画正方形ABCD．
（1）求抛物线的解析式和点C、D的坐标；
（2）能否将此抛物线沿着直线x=4平移，使平移后的抛物线恰好经过正方形ABCD的另两个顶点C、D若能，写出平移后抛物线的解析式；若不能，请说明理由；
（3）若以点A（4，4）为圆心，r为半径画圆，请你探究：
①当r=______时，⊙A上有且只有一个点到直线BD的距离等于2；
②当r=______时，⊙A上有且只有三个点到直线BD的距离等于2；
③随着r的变化，⊙A上到直线BD的距离等于2的点的个数也随着变化，请根据⊙A上到直线BD的距离等于2的点的个数，讨论相应的r的值或取值范围．

Answer

（1）可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式，将原点坐标代入即可求出其解析式．
根据抛物线的顶点A的坐标即可得出抛物线的对称轴为x=4，已知O、B关于抛物线的对称轴对称，那么B点的坐标为（8，0）．根据A（4，4）可得出∠AOB=45°，即△OAB为等腰直角三角形，因此O、A、D三点同线，直线BD与y轴平行，直线AC与x轴平行，因此D点坐标为（8，8），C点坐标为（12，4）；
（2）可先设出平移后抛物线的解析式，然后将D点坐标代入，即可求出平移后抛物线的解析式，再将C点坐标代入抛物线中进行验证即可；
（3）①此种情况为圆A与直线BD相离，由于圆心A到BD的距离为4，因此r=4-2=2．
②此种情况圆A与直线BD相交，设与BD垂直的半径为AM，那么M到直线BD的距离为2，因此半径AM=4+2=6．
③根据①②可知：当0＜r＜2时0个；当r=2时1个；当2＜r＜6时2个；当r=6时3个；
当r＞6时，应该有4个点到直线BD的距离为2．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为y=a（x-4）2+4，
则有：a（0-4）2+4=0，
解得a=-．
∴y=-（x-4）2+4．
根据A（4，4）可知，∠AOB=45°
∵AO=AB，
∴△AOB为等腰直角三角形．
∴∠OAB=90°，即O、A、D三点共线，
因此直线BD∥y轴，直线AC∥x轴，
则有：C（12，4）D（8，8）．

（2）设平移后的抛物线的解析式为y=-（x-4）2+4+h（h＞0），
将C点坐标代入有：4=-（12-4）2+4+h，
解得h=16
∴平移后抛物线的解析式为y=-（x-4）2+20
当x=8时，y=12≠8，
因此不能使平移后的抛物线恰好经过正方形ABCD的另两个顶点C、D．

（3）①2；②6；
③当0＜r＜2时0个；当r=2时1个；当2＜r＜6时2个；当r=6时3个；当r＞6时4个．