Question

（2003•辽宁）如图，⊙D交y轴于A、B，交x轴于C，过点C的直线：y=-2x-8与y轴交于P．
（1）求证：PC是⊙D的切线；
（2）判断在直线PC上是否存在点E，使得S_△EOP=4S_△CDO，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当直线PC绕点P转动时，与劣弧AC交于点F（不与A、C重合），连接OF，设PF=m，OF=n，求m、n之间满足的函数关系式，并写出自变量n的取值范围．

Answer

（1）先求得C（，0），P（0，-8），根据cot∠OCD=，cot∠OPC=，得∠OCD=∠OPC，∠OCD+∠PCO=90°，即PC是⊙D的切线；
（2）设直线PC上存在一点E（x，y），使S△EOP=4S△CDO×8×|x|，解得x=±，由y=-2x-8可知：当x=时，y=-12，当x=-时，y=-4，所以在直线PC上存在点E（，-12）或（-，-4），
使S△EOP=4S△CDO；
（3）作直线PF交劣弧AC于F，交⊙D于Q，连接DQ，由切割线定理得：PC2=PF•PQ①，易证△CPD∽△OPC，，即PC2=PO•PD，可知PO•PD=PF•PQ，∠FPO=∠DPQ，从而证明△FPO∽△DPQ，即，即m=3n（2＜n＜）．
（1）证明：直线y=与x轴、y轴分别交于点C、P，
∴C（，0），P（0，-8），
∴cot∠OCD=，cot∠OPC=，
∴∠OCD=∠OPC，
∵∠OPC+∠PCO=90°，
∴∠OCD+∠PCO=90°，
∴PC是⊙D的切线；

（2）【解析】
设直线PC上存在一点E（x，y），
使S△EOP=4S△CDO，
×8×|x|=4××1×2，
解得x=±，由y=-2x-8可知：
当x=时，y=-12，
当x=-时，y=-4，
∴在直线PC上存在点E（，-12）或（-，-4），
使S△EOP=4S△CDO；

（3）解法一：
作直线PF交劣弧AC于F，交⊙D于Q，连接DQ，
由切割线定理得：PC2=PF•PQ①，
在△CPD和△OPC中，
∵∠PCD=∠POC=90°，∠CPD=∠OPC，
∴△CPD∽△OPC，
∴，
即PC2=PO•PD②，
由①、②得：PO•PD=PF•PQ，
又∵∠FPO=∠DPQ，
∴△FPO∽△DPQ，即，
∴m=3n（2＜n＜）．
解法二：作直线PF交劣弧AC于F，
设F（x，y），作FM⊥y轴，M为垂足，连接OF，
∵m2-（-8-y）2=x2，
n2-y2=x2，
∴m2-64-16y-y2=n2-y2，
即m2-64-16y=n2①，
又∵32-（1-y）2=x2，
∴32-（1-y）2=n2-y2，
解得y=②，
将②代入①，解得：m=3n，m=-3n（舍），
∴m=3n（2＜n＜）．