Question

如图，在平面直角坐标系内，四边形AOBC是菱形，点B的坐标是（4，0），∠AOB=60°，点P从点A开始沿AC以每秒1个单位长度向点C移动，同时点Q从点O以每秒a（1≤a≤3）个单位长度的速度沿OB向右移动，设t秒后，PQ交OC于点R．
（1）设a=2，t为何值时，四边形APQO的面积是菱形AOBC面积的；
（2）设a=2，OR=，求t的值及此时经过P、Q两点的直线解析式；
（3）当a为何值时，以O、Q、R为顶点的三角形与以O、B、C为顶点的三角形相似（只写答案，不必说理）．

Answer

（1）作AD⊥OB于D，根据等量关系S四边形APQO=S菱形AOBC列出方程，求出t的值；
（2）作CH⊥x轴于H，菱形的性质得△OQR∽△CPR，得出比例式，求出t的值及此时经过P、Q两点的直线解析式；
（3）根据相似三角形的性质得当a=1时，△ORQ∽△OBC．
【解析】
（1）作AD⊥OB于D，
在Rt△AOD中，OA=4，∠AOD=60°，Sin60°=，，
∵S梯形APQO=，
∴当a=2时，S梯形APQO=．
∴由S梯形APQO=S菱形AOBC=．
∴．

（2）作CH⊥x轴于H，
在Rt△CBH中，BC=OB=4，∠CBH=∠AOB=60°，
∴cos60°=．
∴BH=4×=2，sin60°=．
∴CH=4×．
在Rt△OCH中，由勾股定理得，OC=，
∵AC∥OB，得△OQR∽△CPR，
∴．
另一方面，
当a=2时，OQ=at=2t，PC=4-t，RC=OC-OR=，
∴=，
∴t=1，解得P（3，2），Q（2，0）．
∴解析式为．

（3）当a=1时，△ORQ∽△OBC，理由如下：
∵AC∥OB，得△OQR∽△CPR，得，
∴OR=．
∴当，∠ROQ=∠COB得△OQR∽△OBC．
此时，得，
所以at-t=0，t（a-1）=0，
∴t=0（舍去）．
∵a-1=0，
∴a=1．
当，∠ROQ=∠COB得△OQR∽△OCB．
即，
解得：at-t=8，
a=1+．