Question

（2009•衢州模拟）如图，△ABC中，∠ACB=90°，把△ABC绕点C顺时针旋转到△A₁B₁C的位置，A₁B₁交直线CA于点D．若AC=6，BC=8，当线段CD的长为    时，△A₁CD是等腰三角形．

Answer

要使三角形是等腰三角形，可以有三种情况：
①当CD=A1C=AC=6时，三角形是等腰三角形；
②当CD=A1D时，根据等角的余角相等得∠B1=∠B1CD，则B1D=CD，即CD=5时，三角形是等腰三角形；
③当A1C=A1D时，首先过点C作CE⊥A1B1于E，运用面积法求得A1D上的高CE是4.8．然后在直角△A1CE中由勾股定理求出A1E的长度，从而求得DE的长度．最后在直角△CDE中，由勾股定理求出CD的长度．
【解析】
三角形是等腰三角形，有如下三种情况：
①当CD=A1C=AC=6时，三角形是等腰三角形；

②当CD=A1D时，
∵∠B=90°-∠BCB1=∠ACB1，∠B=∠B1，
∴∠B1=∠B1CD，
∴B1D=CD．
∵CD=A1D，
∴CD=A1B1=5时，三角形是等腰三角形；

③当A1C=A1D时，如图．过点C作CE⊥A1B1于E．
∵△A1B1C的面积=×6×8=×10×CE，
∴CE=4.8．
在△A1CE中，∠A1EC=90°，由勾股定理知A1E==3.6，
∴DE=6-3.6=2.4．
在△CDE中，∠CED=90°，由勾股定理知CD==．
故当线段CD的长为6或5或时，△A1CD是等腰三角形．