Question

已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N不重合．
（1）线段MN与BD是否垂直？请说明理由；
（2）若∠BAC=30°，∠CAD=45°，AC=4，求MN的长．

Answer

（1）根据题意画出图形，再作出辅助线构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质进行证明；
（2）注意要分二种情况讨论：即B、D在AC两侧和B、D在AC同侧．
【解析】
（1）线段MN与BD垂直．
连接MB与MD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，可以知道
MB=，MD=，所以MB=MD．
三角形MBD中，N是底边上的中点，等腰三角形的性质可以说明：
MN垂直BD．

（2）如图一：连接BM、MD，延长DM，过B作DM延长线的垂线段BE，
则可知在Rt△BEM中，∠EMB=30°，
∵AC=4，∴BM=2，
∴BE=1，EM=，MD=2，
从而可知
BD==2
∴BN=．
由Rt△BMN可得：
MN==．
如图二：连接BM、MD，延长AD，过B作垂线段BE，
∵M、N分别是AC，BD中点，
∴MD=AC，MBAC，
∴MD=MB，
∵∠BAC=30°，∠CAD=45°，
∴∠BMC=60°，∠DMC=90°，
∴∠BMD=30°，
∴∠BDM==75°，
∵∠MDA=45°
∴∠EDB=180°-∠BDM-∠MDA=60°，
令ED=x，则BE=x，AD=2，AB=2，
∴由Rt△ABE可得：（2）2=（x）2+（x+2）2，
解得x=，则BD=2，
∵M、N分别是AC，BD中点，
∴MD=2   DN=．
由Rt△MND可得：
MN==．