Question

△ABC与△A′B′C′是两个直角边都等于4厘米的等腰直角三角形，M、N分别是直角边AC、BC的中点．△ABC位置固定，△A′B′C′按如图叠放，使斜边A′B′在直线MN上，顶点B′与点M重合．等腰直角△A′B′C′以1厘米/秒的速度沿直线MN向右平移，直到点A'与点N重合．设x秒时，△A′B′C′与△ABC重叠部分面积为y平方厘米．

（1）当△A′B′C′与△ABC重叠部分面积为平方厘米时，求△A′B′C′移动的时间；
（2）求y与x的函数关系式；
（3）求△A′B′C′与△ABC重叠部分面积的最大值．

Answer

本题的关键是求出重合部分的面积与x的函数关系式，可分三种情况进行讨论：
①当B′在△ABC内部时，即当0≤x≤时，此时重合部分是平行四边形，以MB′为底，以AM•sin45°为高．据此可求出此时y，x的函数关系式．
②当A′，B′都在△ABC外部时，即当≤x≤时，此时重合部分是个六边形，可用△A′B′C′的面积-△A′ME的面积-△B′ND的面积-△GC′F的面积来求解．
③当A′在△ABC内部时，即当≤x≤时，此时重合部分是平行四边形，求法和①相同．
根据上述三种情况可得出三个不同的函数解析式，根据函数式即可求出当y为平方厘米时x的值，以及y的最大值及对应的x的值．
【解析】
（1）①如图1，当B′在△ABC内时，重叠部分是平行四边形，
由题意得：x=，
解得x=．
②如图3，当A′在△ABC内时，重叠部分是平行四边形，
由题意得：A′N=6-x，y=（6-x）×=，
解得x=6-，
综上所述，当△A′B′C′与△ABC重叠部分面积为平方厘米时，△A′B′C′移动的时间为或（6-）秒．

（2）①如图1，当0≤x≤时y=x，
②如图2，当≤x≤时，如图，△DB′N，△A′ME，△C′FG是等腰直角三角形，
由B′N=x-2，GF=MN=，A′M=4-x，
则y=×4×4-×2×2-×（x-2）2-（4-x）2
即y=-x2+3x-4；
③如图3，当≤x≤时，A′M=x-4，A′N=2-x+4=6-x，
y=A′N×=-x+12．

（3）①当0≤x≤时，最大值=4，
②当≤x≤时，最大值=5，
③当≤x≤时，最大值=4，
所以，△A′B′C′与△ABC重叠部分面积的最大值为5．