Question

（2008•盐城）阅读理【解析】

对于任意正实数a，b，∵≥0，∴a-+b≥0，∴a+b≥2，只有点a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥，只有当a=b时，a+b有最小值2．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m=______时，m+有最小值______；
（2）思考验证：
①如图1，AB为半圆O的直径，C为半圆上任意一点，（与点A，B不重合）．过点C作CD⊥AB，垂足为D，AD=a，DB=b．试根据图形验证a+b≥，并指出等号成立时的条件；
②探索应用：如图2，已知A（-3，0），B（0，-4）P为双曲线上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PO⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．

Answer

（1）由题意得，两个正数相加，只有在相等的情况下，才有最小值，而倒数等于它本身的正数只有1；
（2）①由点D所在的不同位置，利用a和b所在的三角形相似来求得相应的关系；
②应根据对角线互相垂直的四边形的面积的求法以及设出的点P的坐标来得到相应结论．
【解析】
（1）关键题意得m=1（填不扣分），最小值为2；

（2）①∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
又∵CD⊥AB，
∴∠CAD=∠BCD=90°-∠B，
∴Rt△CAD∽Rt△BCD，
∴CD2=AD•DB，
∴CD=，
若点D与O不重合，连OC，
在Rt△OCD中，∵OC＞CD，
∴，
若点D与O重合时，OC=CD，
∴，
综上所述，，即a+b≥2，当CD等于半径时，等号成立；
②探索应用：设P（x，），
则C（x，0），D（0，），CA=x+3，DB=+4，
∴S四边形ABCD=CA×DB=（x+3）×（+4），
化简得：S=2（x+）+12，
∵x＞0，＞0，
∴x+≥2=6，
只有当x=，即x=3时，等号成立．
∴S≥2×6+12=24，
∴S四边形ABCD有最小值24，
此时，P（3，4），C（3，0），D（0，4），AB=BC=CD=DA=5，
∴四边形ABCD是菱形．