Question

（2008•包头）已知直线y=kx+1经过点M（d，-2）和点N（1，2），交y轴于点H，交x轴于点F．
（1）求d的值；
（2）将直线MN绕点M顺时针旋转45°得到直线ME，点Q（3，e）在直线ME上，①证明ME∥x轴；②试求过M、N、Q三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，连接NQ，作△NMQ的高NB，点A为MN上的一个动点，若BA将△NMQ的面积分为1：2两部分，且射线BA交过M、N、Q三点的抛物线于点C，试求点C的坐标．

Answer

（1）把点N（1，2）代入y=kx+1，得k，再把M点坐标代入已知直线解析式得d；
（2）由（1）可知直线MN：y=x+1与x轴夹角为45°，将直线MN绕点M顺时针旋转45°得到直线ME，此时ME∥x轴；由此可以判断点Q的纵坐标与点M相同，e=-2，已知M、N、Q三点坐标，可求抛物线解析式；
（3）有两种可能，即S△AMB=S△NMQ或S△AMB=S△NMQ；△NMQ的面积为已知，线段MB长已知，可求点A到BM的距离，又点A在直线MN上，可求点A坐标，用“两点法”求直线AB解析式，再与抛物线解析式联立，可求C点坐标．
【解析】
（1）把点N（1，2）代入y=kx+1，得k=1
∴y=x+1
∵点M（d，-2）在直线y=x+1上
∴d=-3

（2）①∵y=x+1分别交x轴、y轴于点F、H．
∴F（-1，0），H（0，1），
∴OF=OH=1
∴∠HFO=∠NME=45°，
∴ME∥x轴
②又∵点Q（3，e）在直线ME上，
∴Q（3，-2）
设过M（-3，-2），N（1，2），Q（3，-2）的抛物线为y=ax2+bx+c
代入三个点的坐标得
解得
∴y=-x2+

（3）设A（m，n），A到MQ的距离为h，则
S△AMB=S△NMQ或S△AMB=S△NMQ
当S△AMB=S△NMQ时，得MB•h=×MQ•NB ①
∵NB是△NMQ的高，
∴B（1，-2）
∴MB=4，MQ=6，NB=4
∴由①式得h=2，
∴n=2-2=0，m=-1
∴A（-1，0）
设直线AB的解析式为y=k´x+b´，代入A（-1，0）和B（1，-2），得k´=-1，b´=-1
解方程组
得（舍去）
∴C（1-2，2-2）
当S△AMB=S△NMQ时，可得h=4，n=2，m=1
此时点A（1，2）为满足条件的点
综上可知，所求点C的坐标为（1-2，2-2）和（1，2）．