Question

如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=6cm，现有两动点P，Q分别从A，B同时出发，点P在线段AB上沿AB方向作匀速运动，点Q在线段BC上沿BC方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1厘米/秒．
（1）设点Q的运动速度为厘米/秒，运动时间为t秒，△DPQ的面积为S，请你求出S与t的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，当△DPQ的面积最小时，求BQ的长；
（3）在（1）的条件下，当△DAP和△PBQ相似时，求BQ的长；
（4）设点Q的运动速度为a厘米/秒，问是否存在a的值，使得△ADP与△PBQ和△DCQ这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值，并写出此时BQ的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）知道了P、Q的速度，那么可用时间来表示出AP、BQ的长，也就表示出了BP、BQ的长，也就有了△BPQ的直角边的长，根据三角形的面积公式即可得出关于S与t的函数关系式；
（2）可根据（1）的函数的性质求出S的最大值；
（3）要分两种情况进行讨论，
①当∠ADP=∠BPQ时，AD，BP相对应，AP，BQ相对应，可以根据它们的比例关系求出此时t的值．进而求出BQ的长；
②当∠APD=∠BPQ时，AD，BQ相对应，AP，BP相对应，按照①的方法求t的值即可．
（4）与（3）的方法相同，也是按对应角的不同分成不同的状况进行讨论，最后看看求出的结果是否符合要求．
【解析】
（1）根据题意，①S△DPQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△PBQ-S△DCQ
=60-×6t-×（10-t）•t-×10•（6-t）=t2-3t+30；

（2）S△DPQ=t2-3t+30=，
当t=6时，S△DPQ最小，此时BQ=3；

（3）①如图，当∠DPA=∠QPB时，
，
∴，t2+12t-120=0，
解得：t=2-6，或t=-2-6（不合题意，舍去）
因此，当t=2-6时，BQ=-3；
②如图，当∠DPA=∠PQB时，
，
∴，
解得：t=7，
因此，当t=7时，即BQ=3.5时，△DAP和△PBQ相似；

（4）假设存在a的值，使△ADP与△PBQ和△DCQ这两个三角形都相似，设此时P，Q运动时间为t秒，则AP=t，BQ=at．
①如图，当∠1=∠3=∠4时，，∴，t2+6t-60=0，
解得：t1=2，t2=18（舍去），
此时BQ=at=×2=．
②当∠1=∠3=∠5时，∠DPQ=∠DQP=90°不成立；
③如图，当∠1=∠2=∠4时，，
∴，
即，将a消掉，可得5t2-36t+180=0，此方程无解，
④当∠1=∠2=∠5时，∠1=∠PDC＞∠5，故不存在这样的a值．
综上所述，存在这样的a值，△ADP与△PBQ和△DCQ这两个三角形都相似，此时，BQ=．