Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为菱形，点A，B的坐标分别为（3，0）、（0，4），动点M从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BA向终点A运动，连接MO并延长交CD于点N，过点N作NP⊥BD，交BD于点P，连接MP，当动点M运动了t秒时．
（1）N点的坐标为______，P点的坐标为______（用含t的代数式表示）；
（2）记△MNP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜5），并求出当t取何值时，S有最大值，最大值是多少？
（3）在M出发的同时，有一动点Q从A点开始在线段AO上以每秒个单位长度的速度向点O移动，试求当t为何值时，△AMQ与△AOB相似．

Answer

（1）本题关键是求N的坐标，有了N的坐标也就求出了P的坐标，我们不难发现M，N关于原点对称，因此只要求出M的坐标就求出了N的坐标，我们看M的坐标，我们知道M的速度，可以用时间t表示出BM的长，那么OB-BM•sin∠BAC就是M的纵坐标，BM•sin∠ABP就是M的横坐标，∠BAC和∠ABP的正弦值可以在△AOB中求出因此就能求出M、N、P的坐标了；
（2）可以把NP当做△MNP的底边，那么它的长度就是N点横坐标的绝对值，而NP边上的高就是M、P纵坐标的差的绝对值，因此可根据三角形的面积公式得出关于S，t的函数关系式；
（3）要分情况讨论：因为两个三角形公用了∠BAO因此只要看看另外的△MQA中另外的两个角哪个当直角就可以了，可根据三角形相似得出线段的比例来求解．
【解析】
（1）由图可得OB-BM•sin∠BAC就是M的纵坐标，BM•sin∠ABP就是M的横坐标，
于是得N（-t，-4+t），P（0，-4+t）；

（2）S=|NP|•h=•t•（8-t）=-（t-）2+3，
t=时，S有最大值，Smax=3；

（3）△AMQ与△AOB相似，分情况讨论：
①∠MQA=90°时，则M、Q的横坐标相等，
xM=xQ，xM=t，xQ=3-t，
∴t=；
②∠QMA=90°时，由△AQM∽△AOB可得，
=，=，t=；
③因为∠BAC不可能是直角，所以这种情况不存在，
∴当t为或时，△AMQ与△AOB相似．