Question

如图甲，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=∠B=90°，AD=AB=6cm，BC=8cm．点E从点A出发沿AD方向以1厘米/秒的速度向终点D运动；点F从点C出发沿CA方向以2厘米/秒的速度向终点A运动．当点E、F中有一点运动到终点时，另一点也随之停止．设运动的时间为t秒．

（1）当t为何值时，△AEF和△ACD相似？
（2）连接BF，随着点E、F的运动，四边形ABFE可能是直角梯形？若可能，请求出t的值；若不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△AFE的面积最大，最大值是多少？

Answer

（1）本题可分两种情况：△AEF∽△ADC或△AEF∽△ACD，可根据不同的相似三角形得出的对应成比例线段求出t的值；
（2）若四边形ABEF是直角梯形，只有一种可能即：AB∥EF，此时△AEF∽△CBA，可根据得出的关于AE、AF、BC、AC的比例关系式求出t的值；
（3）可先求出关于三角形AFE的面积与t的函数关系式，三角形AEF中，AE的长为t，AE边上的高，可用AF的长和∠DAC的正弦值（用相似三角形来求也可以）表示出来，由此可得出关于△AEF的面积和t的函数关系式，根据函数的性质即可求出S的最大值及对应的t的值．
【解析】
（1）在△ABC中，AC=
若△AEF∽△ADC，则
∴
解得：t=
若△AEF∽△ACD，则
∴
解得：t=
答：当t为秒或秒时，△AEF与△ADC相似．

（2）若四边形ABFE是直角梯形，则△AEF∽△CBA
∴
∴t=
答：当t为时，四边形ABFE是直角梯形．

（3）过点E作EM⊥AC交于M，

则△AME∽△CBA
∴
∴
∴ME=
∴S△AEF=AF•EM=（10-2t）×t=-（t-）2+
∴当t=时，△AFE的面积最大，最大值是cm2．