Question

如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是线段0D上一点，连接EC，作BF⊥CE于点F，交0C于点G．
（1）求证：BG=CE；
（2）若AB=4，BF是∠DBC的角平分线，求OG的长．

Answer

（1）先根据正方形的性质得到相等的线段和角证得，△BOG≌△CEO（AAS），所以BG=CE；
（2）利用BF是∠DBC的角平分线求得∠1=∠8，结合BF=BF，∠9=∠6可证明△BEF≌△BCF（ASA），所以BE=BC=4，根据Rt△BOC中对应的比例关系和三角函数可求得BO=2，所以OE=BE-BO=4-2．根据△BOG≌△COE可知OG=OE=4-2．
（1）证明：∵正方形ABCD中，AC、BD相交于O，
∴BO=CO，BO⊥CO，
∵BF⊥EC，
∴∠5=∠6=∠7=90°，
∵∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
∴△BOG≌△CEO，（AAS）（3分）
∴BG=CE．（1分）

（2）【解析】
方法1：∵BF是∠DBC的角平分线，
∴∠1=∠8，
∵BF=BF，∠9=∠6=90°，
∴△BEF≌△BCF（ASA），（2分）
∴BE=BC=4，（1分）
∵在Rt△BOC中，，
即，
∴，（1分）
∴，（1分）
∵△BOG≌△COE，
∴．（1分）
方法2：∵BF是∠DBC的角平分线，
∴∠1=∠8，
∵BF=BF，∠9=∠6=90°，
∴△BEF≌△BCF（ASA），
∴BE=BC=4，
∵四边形BCD是正方形
∴∠AOB=90°，AO=BO
设AO为x，
由勾股定理，得
2x2=42
解得x=2
∵△BOG≌△COE
∴OG=OE
∵OE=BE-BO=4-2，
∴OG=4-2．