Question

（2009•黄石）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；
（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

Answer

（1）利用平行线的性质由角相等得出边相等；
（2）假设四边形BCFE，再证明与在同一平面内过同一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾；
（3）利用平行四边形及等腰直角三角形的性质证明四边形AECF是正方形．
【解析】
（1）OE=OF．
证明如下：
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠1=∠2．
∵MN∥BC，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴OE=OC．
同理可证OC=OF．
∴OE=OF．（3分）

（2）四边形BCFE不可能是菱形，若BCFE为菱形，则BF⊥EC，
而由（1）可知FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线．（3分）

（3）当点O运动到AC中点时，且△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）时，四边形AECF是正方形．
理由如下：
∵O为AC中点，
∴OA=OC，
∵由（1）知OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形；
∵∠1=∠2，∠4=∠5，∠1+∠2+∠4+∠5=180°，
∴∠2+∠5=90°，即∠ECF=90°，
∴▱AECF为矩形，
又∵AC⊥EF．
∴▱AECF是正方形．
∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角三角形时，四边形AECF是正方形．（3分）