Question

（2010•朝阳区二模）如图，平行四边形ABCD中，AD=8，CD=4，∠D=60°．点P与点Q是平行四边形ABCD边上的动点，点P以每秒1个单位长度的速度，从点C运动到点D，点Q以每秒2个单位长度的速度从点A→点B→点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．点P与点Q同时出发，设运动时间为t，△CPQ的面积为S．
（1）求S关于t的函数关系式；
（2）求出S的最大值；
（3）t为何值时，以△CPQ的一边所在直线为轴翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形是菱形？

Answer

（1）当0＜t≤2时，如图1，过点B作BD⊥BC，交DC的延长线于点E，根据三角形面积公式求得S关于t的函数关系式，当2＜t≤4时，如图2，CP=t，BQ=2t-4，过点P作PF⊥BC，交BC的延长线于F点，由三角形面积公式求得S关于t的函数关系式，
（2）根据S关于t的函数关系式求出最大值，
（3）要使△CPQ为等腰三角形，则要CQ=CP，看看t是否存在．
【解析】
（1）①当0＜t≤2时，如图1，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E，
∴∠BCE=∠D=60°
∴CE=4，由勾股定理得：BE=4，
∴CP=t，S=
②当2＜t≤4时，如图2，CP=t，BQ=2t-4，
CQ=8-（2t-4）=12-2t；∠DCF=∠B=60°，
∵∠F=90°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=t，由勾股定理得：PF=t，
S=CQ×PF=×（12-2t）×t，
即S=-t2+3t．

（2）过点P作PF⊥BC，交BC的延长线于F点，
∵∠PCF=∠D=60°，
∴PF=t，
∴S△CPQ=-t2+3t=-（t-3）2+，
t=3时，S有最大值．
综上，S的最大值为；

（3）当0＜t≤2时，△CPQ不是等腰三角形，所以不存在符合条件的菱形．
当2＜t≤4时，令CQ=CP，即t=12-2t，解得t=4．
∴当t=4时，△CPQ为等腰三角形，
即为△CPQ的一边所在直线为轴翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形．