Question

（2010•朝阳区一模）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形CGEF．
（1）求点A在旋转过程中所走过的路径的长（结果保留π和根号）；
（2）点P为线段BC上一点（不包括端点），且AP⊥EP，求△APE的面积．

Answer

（1）连接AC，在Rt△ABC中解得AC，由弧长公式求得路程．
（2）设BP=x，则PG=12-x．由tan∠APB=tan∠PEG列出关系式，解得BP，然后求得三角形面积．
【解析】
（1）连接AC，
在Rt△ABC中，AB=4，BC=8，
由勾股定理得AC=（1分）
∴．（3分）
即点A在旋转过程中所走过的路径的长为；

（2）如图，
设BP=x，则PG=12-x．
∵AP⊥EP，∴∠APB+∠EPG=90°．
又∠EPG+∠PEG=90°，
∴∠APB=∠PEG
∴tan∠APB=tan∠PEG
∴，即
解得x1=4，x2=8（不符合题意，舍去）．
∴x=4，即BP=4．（4分）
当BP=4时，PG=8，
∴AP=4，PE=8，．（5分）