Question

（2008•北京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=，BC=4，求DC的长．

Answer

要求DC的长，根据已知条件可将它转化为直角三角形的边，由勾股定理即可求得．
【解析】
解法一：
如图1，分别过点A，D
作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．（1分）
∴AE∥DF．
又AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形．
∴EF=AD=．（2分）
∵AB⊥AC，∠B=45°，BC=4，
∴AB=AC．
∴AE=EC=BC=2．
∴DF=AE=2，CF=EC-EF=（4分）
在Rt△DFC中，∠DFC=90°，
∴DC=．（5分）

解法二：
如图2，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．（1分）
∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．
∵AD∥BC，
∴∠DAE=180°-∠B-∠BAC=45度．
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，
∴AC=BC•sin45°=4=4（2分）
在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=，
∴DE=AE=1．
∴CE=AC-AE=3．（4分）
在Rt△DEC中，∠CED=90°，
∴DC=．（5分）