Question

（2010•海淀区一模）已知：△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO．连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点．
（1）如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=60°，则△PMN的形状是______，此时=______；
（2）如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=2α，证明△PMN∽△BAO，并计算的值（用含α的式子表示）；
（3）在图2中，固定△AOB，将△COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值．

Answer

（1）由于AB=OB，CD=OC，∠ABO=∠DCO，且∠ABO=60°，则△AOB和△COD都为等边三角形，又A、O、C三点在同一直线上，则△PMN为等边三角形，AD=BC．
（2）连接BM、CN，由于△ABO与△MPN都为等腰三角形，且证得∠MPN=∠ABO，则△PMN∽△BAO，的值可在Rt△BMA中求得．
（3）结合图形，直接可写出△COD绕点O旋转后PM的最大值．
【解析】
（1）连接BM，CN，
∵△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=60°，
∴△AOB与△COD是等边三角形，
又∵点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点，
∴BM⊥AC，CN⊥BD，∠MBO=∠ABO=∠NCO=∠OCD=30°，
∴PM=PN=BC，
∴∠PBM=∠PMB，∠PCN=∠PNC，
∵∠BAO=∠DCO=60°，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠MBP+∠BCN=180°-∠ABM-∠DCN=120°，
∴∠BPM+∠NPC=360°-2（∠MBP+∠BCN）=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，
∴PM=PN=MN，
∵AD=2MN，BC=2PM，
∴=1．

（2）证明：连接BM、CN．
由题意，得BM⊥OA，CN⊥OD，∠AOB=∠COD=90°-α．
∵A、O、C三点在同一直线上，∴B、O、D三点在同一直线上．
∴∠BMC=∠CNB=90°．∵P为BC中点，
∴在Rt△BMC中，．
在Rt△BNC中，，∴PM=PN．
∴B、C、N、M四点都在以P为圆心，为半径的圆上．∴∠MPN=2∠MBN．
又∵，∴∠MPN=∠ABO．∴△PMN∽△BAO．
∴．由题意，，又．
∴．∴．
在Rt△BMA中，．
∵AO=2AM，∴．∴．

（3）．
当CD∥AB时，即四边形ABCO是梯形时，PM有最大值．
PM=（AB+CD）÷2=（2+3）÷2=．