Question

（2010•密云县）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4，∠B=45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．
（1）求BC的长；
（2）当MN∥AB时，求t的值；
（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

Answer

（1）作梯形的两条高，根据直角三角形的性质和矩形的性质求解；
（2）平移梯形的一腰，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解；
（3）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．
【解析】
（1）如图①，过A、D分别作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，则四边形ADHK是矩形．
∴KH=AD=3．
在Rt△ABK中，AK=AB•sin45°=4•=4BK=AB•cos45°=4=4．
在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC==3．
∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10．

（2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形．
∵MN∥AB，
∴MN∥DG．
∴BG=AD=3．
∴GC=10-3=7．
由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=10-2t．
∵DG∥MN，
∴∠NMC=∠DGC．
又∠C=∠C，
∴△MNC∽△GDC．
∴，
即．
解得，．

（3）分三种情况讨论：
①当NC=MC时，如图③，即t=10-2t，
∴．

②当MN=NC时，如图④，过N作NE⊥MC于E．
解法一：
由等腰三角形三线合一性质得
EC=MC=（10-2t）=5-t．
在Rt△CEN中，cosC==，
又在Rt△DHC中，cosC=，
∴．
解得t=．
解法二：
∵∠C=∠C，∠DHC=∠NEC=90°，
∴△NEC∽△DHC．
∴，
即．
∴t=．
③当MN=MC时，如图⑤，过M作MF⊥CN于F点．FC=NC=t．
解法一：（方法同②中解法一），
解得．
解法二：
∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，
∴△MFC∽△DHC．
∴，
即，
∴．
综上所述，当t=、t=或t=时，△MNC为等腰三角形．