Question

（2008•泰安）如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为，DE=3，求AE．

Answer

（1）根据切线的判定定理只需证明OE⊥DE即可；
（2）根据（1）中的证明过程，会发现BC=2DE，根据勾股定理求得AC的长，进一步求得直角三角形斜边上的高BE，最后根据勾股定理求得AE的长．
【解析】
（1）证明：连接OE，BE，
∵AB是直径．
∴BE⊥AC．
∵D是BC的中点，
∴DE=DB．
∴∠DBE=∠DEB．
又OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB．
∴∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB．
即∠ABD=∠OED．
但∠ABC=90°，
∴∠OED=90°．
∴DE是⊙O的切线．

（2）法1：∵∠ABC=90°，AB=2，BC=2DE=6，
∴AC=4．
∴BE=3．
∴AE=；
法2：∵（8分）
∴（10分）
∴．（12分）