Question

（2006•上海）如图，在直角坐标系中，O为原点．点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，tan∠OAB=2．二次函数y=x²+mx+2的图象经过点A，B，顶点为D．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置．将上述二次函数图象沿y轴向上或向下平移后经过点C．请直接写出点C的坐标和平移后所得图象的函数解析式；
（3）设（2）中平移后所得二次函数图象与y轴的交点为B₁，顶点为D₁．点P在平移后的二次函数图象上，且满足△PBB₁的面积是△PDD₁面积的2倍，求点P的坐标．

Answer

（1）二次函数y=x2+mx+2的图象经过点B，可得B点坐标为（0，2），再根据tan∠OAB=2求出A点坐标，将A代入解析式即可求得函数解析式；
（2）根据旋转不变性可轻松求得C点坐标，由于沿y轴运动，故图象开口大小、对称轴均不变，设出解析式，代入C点作标即可求解；
（3）由于P点位置不固定，由图可知要分①当点P在对称轴的右侧时，②当点P在对称轴的左侧，同时在y轴的右侧时，③当点P在y轴的左侧时，三种情况讨论．
【解析】
（1）由题意，点B的坐标为（0，2），（1分）
∴OB=2，
∵tan∠OAB=2，即=2．
∴OA=1．
∴点A的坐标为（1，0）．（2分）
又∵二次函数y=x2+mx+2的图象过点A，
∴0=12+m+2．
解得m=-3，（1分）
∴所求二次函数的解析式为y=x2-3x+2．（1分）

（2）作CE⊥x轴于E，
由于∠BAC=90°，可知∠CAE=∠OBA，△CAE≌△OBA，
可得CE=OA=1，AE=OB=2，可得点C的坐标为（3，1）．（2分）
由于沿y轴运动，故图象开口大小、对称轴均不变，
设出解析式为y=x2-3x+c，代入C点作标得1=9-9+c，c=1，
所求二次函数解析式为y=x2-3x+1．（1分）

（3）由（2），经过平移后所得图象是原二次函数图象向下平移1个单位后所得的图象，
那么对称轴直线x=不变，且BB1=DD1=1．（1分）
∵点P在平移后所得二次函数图象上，
设点P的坐标为（x，x2-3x+1）．
在△PBB1和△PDD1中，∵S△PBB1=2S△PDD1，
∴边BB1上的高是边DD1上的高的2倍．
①当点P在对称轴的右侧时，x=2（x-），得x=3，
∴点P的坐标为（3，1）；
②当点P在对称轴的左侧，同时在y轴的右侧时，x=2（-x），得x=1，
∴点P的坐标为（1，-1）；
③当点P在y轴的左侧时，x＜0，又-x=2（-x），
得x=3＞0（舍去），
∴所求点P的坐标为（3，1）或（1，-1）．（3分）