Question

（2010•石景山区一模）我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质：重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2﹕1．请你用此性质解决下面的问题．
已知：如图，点O为等腰直角三角形ABC的重心，∠CAB=90°，直线m过点O，过A、B、C三点分别作直线m的垂线，垂足分别为点D、E、F．
（1）当直线m与BC平行时（如图1），请你猜想线段BE、CF和AD三者之间的数量关系并证明；
（2）当直线m绕点O旋转到与BC不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AD、BE、CF三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明．

Answer

（1）延长AO交BC于M点，由O为等腰直角三角形ABC的重心可得AO=2MO；再通过证明BCFE为矩形，可得BE=MO=CF，即可得AD=EB+CF；
（2）连接AO并延长交BC于点G，过G做GH⊥EF于H，由重心可得AO=2MO；再通过证明△AOD∽△GOH得AD=2HG；然后证得H为EF的中点，据中位线定理HG=（EB+CF），即可得AD=EB+CF；
（3）图3不成立，CF-BE=AD．
（1）猜想：BE+CF=AD（1分）
证明：如图，延长AO交BC于M点，
∵点O为等腰直角三角形ABC的重心
∴AO=2OM且AM⊥BC
又∵EF∥BC∴AM⊥EF
∵BE⊥EF，CF⊥EF
∴EB∥OM∥CF
∴EB=OM=CF
∴EB+CF=2OM=AD．（3分）

（2）图2结论：BE+CF=AD
证明：连接AO并延长交BC于点G，
过G做GH⊥EF于H，
由重心性质可得AO=2OG，
∵∠ADO=∠OHG=90°，∠AOD=∠HOG，
∴△AOD∽△GOH，
∴AD=2HG，（5分）
∵O为重心，
∴G为BC中点，
∵GH⊥EF，BE⊥EF，CF⊥EF，
∴EB∥HG∥CF，
∴H为EF中点，
∴HG=（EB+CF），
∴EB+CF=AD（7分）

（3）CF-BE=AD．（8分）