Question

（2007•中山）如图1、2，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图2．已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sinα=．
（1）求点M离地面AC的高度BM（单位：厘米）；
（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘
米）．

Answer

（1）过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．那么求BM的长就转化为求HA的长，而要求出HA，必须先求出OH，在直角三角形OHM中，sinα==，且铁环的半径为5个单位即OM=5，可求得HM的值，从而求得HA的值；
（2）因为∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH=α，又因为sinα==，所以可得出FN和FM之间的数量关系，即FN=FM，再根据MN=11-3=8，利用勾股定理即可求出FM=10个单位．
【解析】
过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．
（1）在Rt△OHM中，∠OHM=90°，OM=5，
HM=OM×sinα=3，
所以OH=4，
MB=HA=5-4=1，
1×5=5cm．
所以铁环钩离地面的高度为5cm；

（2）∵铁环钩与铁环相切，
∴∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH=α，
∴=sinα=，
∴FN=FM，
在Rt△FMN中，∠FNM=90°，MN=BC=AC-AB=11-3=8．
∵FM2=FN2+MN2，
即FM2=（FM）2+82，
解得：FM=10，
10×5=50（cm）．
∴铁环钩的长度FM为50cm．