Question

如图，在平面直角标系中，已知点A（0，6），B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求t为何值时，△APQ与△AOB相似？并求出此时点P与点Q的坐标；
（3）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？

Answer

（1）用待定系数法可直接求出直线AB的解析式；
（2）用含t的代数式表示AP、AQ，根据三角形相似的对应关系，利用相似比求出时间t；再利用相似比可求点P与点Q的坐标；
（3）利用相似比求出△APQ的AP边上的高，根据面积公式列方程求t．
【解析】
（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
则解得∴y=-x+6；

（2）由题意可知AO=6，BO=8，则AB=10，且AP=t，BQ=2t，△APQ与△AOB相似有两种情况：
①当∠APQ=∠AOB时，如图（1），有=，即=，解得t=，
则OP=6-=，则P的坐标是：（0，），
∵∠APQ=∠AOB，
∴PQ∥OB
∴=，
则，解得：PQ=，
则Q的坐标是：（，）；
②当∠AQP=∠AOB时，如图（2），有=，即=，解得t=，
则OP=OA-AP=6-=，
则P的坐标是：（0，），
作QM⊥y轴，于M点．
△OAB与△QAP的相似比是：=，
△OAB的面积是：OA•OB=×6×8=24，
则△QAP的面积是：24×（）2=，
∵S△QAP=AP•MQ，即=וMQ，
解得：MQ=，
∵MQ∥OB
∴=，
则=，解得：AM=，
则OM=
故Q的坐标是：（，）；

（3）过Q作QH⊥OA于H，如图，
∴△AHQ∽△AOB，
∴=，
∴=，
∴HQ=（10-2t），
∴•t•（10-2t）=，
解得t=2或t=3．