Question

（2009•武汉）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．
（1）求证：△ABF∽△COE；
（2）当O为AC的中点，时，如图2，求的值；
（3）当O为AC边中点，时，请直接写出的值．

Answer

（1）要求证：△ABF∽△COE，只要证明∠BAF=∠C，∠ABF=∠COE即可．
（2）作OH⊥AC，交AD的延长线于H，易证△ABF≌△COE，进而证明△ABF∽△HOF，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得出所求的值．同理可得（3）=n．
（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF=∠C．
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE=90°，
∵∠BOA+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠COE．
∴△ABF∽△COE．

（2）【解析】
过O作AC垂线交BC于H，则OH∥AB，
由（1）得∠ABF=∠COE，∠BAF=∠C．
∴∠AFB=∠OEC，
∴∠AFO=∠HEO，
而∠BAF=∠C，
∴∠FAO=∠EHO，
∴△OEH∽△OFA，
∴OF：OE=OA：OH
又∵O为AC的中点，OH∥AB．
∴OH为△ABC的中位线，
∴OH=AB，OA=OC=AC，
而，
∴OA：OH=2：1，
∴OF：OE=2：1，即=2；

（3）【解析】
=n．