Question

如图，直线y=kx+4与x、y轴分别交于A、B两点，且，过点A的抛物线交y轴与点C，且OA=OC，并以直线x=2为对称轴，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求直线AB与抛物线的解析式；
（2）是否存在以点P为圆心的圆与直线AB及x轴都相切？若存在，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由．
（3）连接OP并延长到Q点，使得PQ=OP，过点Q分别作QE⊥x轴于E，QF⊥y轴于F，设点P的横坐标为x，矩形OEQF的周长为y，求y与x的函数关系．

Answer

①先确定A，B，C的坐标再来求解析式．②由切线长定理知P点在∠BAO的平分线上或它的外角平分线上．
【解析】
（1）B（0，4），OB=4，OA=3，OC=3，（1分）
直线解析式为：，（2分）
抛物线的解析式为：y=x2-4x+3；（4分）

（2）若⊙P与直线AB及x轴都相切，
则点P在∠BAO或它的外角的平分线所在的直线上．（5分）
①设∠BAO的角平分线交y轴于D，过D作DH⊥AB于H，
则DH=DO=m，BD=4-m，AH=AO=3，BH=5-3=2
在Rt△BHD中，BD2=BH2+DH2
即（4-m）2=m2+22，
解得：
即D（0，1.5）（6分）
则直线AD的解析式为：，（7分）
将其与抛物线的解析式y=x2-4x+3联立解得：，，
即P（，）（8分）
②作∠BAO外角的平分线交y轴于G，
则AG⊥AD于A，则△DOA∽△AOG，故OG=2OA=6
即G（0，-6）直线DG解析式为：y=2x-6（9分）
将其与抛物线的解析式y=x2-4x+3联立解得：，（10分）
综上所述：存在点P（，），使⊙P与直线AB及x轴都相切

（3）

过P作PM⊥x轴于M，显然PM是Rt△OQE的中位线，即OE=2OM=2|x|，QE=2PM
点P在抛物线x2-4x+3上，则P（x，x2-4x+3），QE=2PM=2|x2-4x+3|（11分）
①当x＜0时，x2-4x+3＞0，OE=-2x，y=2[-2x+2（x2-4x+3）]=4x2-20x+12（12分）
②当1＜x＜3时，x2-4x+3＜0，y=2[2x-2（x2-4x+3）]=-4x2+20x-12（13分）
③当0＜x＜1或x＞3时，x2-4x+3＞0，y=2[2x+2（x2-4x+3）]=4x2-12x+12（14分）