Question

（2010•南平）如图，已知点B（1，3），C（1，0），直线y=x+k经过点B，且与x轴交于点A，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD．
（1）填空：A点坐标为（______，______），D点坐标为（______，______）；
（2）若抛物线y=x²+bx+c经过C，D两点，求抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿y轴向上平移，设平移后所得抛物线与y轴交点为E，点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点，在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴．若存在，此时抛物线向上平移了几个单位？若不存在，请说明理由．
（提示：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是x=-，顶点坐标是（-，）

Answer

（1）A、D两坐标可由图象看出．（2）抛物线y=x2+bx+c经过C（1，0），D（-2，3），两点代入解析式，解得b、c．（3）当点M在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时，仅当M，E重合时，它们的纵坐标相等，故知道EM不会与x轴平行，设抛物线向上平移H个单位能使EM∥x轴，写出平移后的解析式，根据抛物线的对称性，可知点M的坐标为（2，+h）时，直线EM∥x轴，将点M代入直线y=x+2，解得h．
【解析】
（1）A（-2，0），D（-2，3）

（2）∵抛物线y=x2+bx+c经过C（1，0），D（-2，3）代入，解得：b=-，c=
∴所求抛物线解析式为：y=x2-x+；

（3）答：存在．
∵当点M在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时，仅当M，E重合时，它们的纵坐标相等．
∴EM不会与x轴平行，
当点M在抛物线的右侧时，
设抛物线向上平移H个单位能使EM∥x轴，
则平移后的抛物线的解析式为
∵y=（x-1）2+h，
∴抛物线与y轴交点E（0，+h），
∵抛物线的对称轴为：x=1，
根据抛物线的对称性，可知点M的坐标为（2，+h）时，直线EM∥x轴，
将（2，+h）代入y=x+2得+h=2+2
解得：h=．
∴抛物线向上平移个单位能使EM∥x轴．