Question

（2009•莆田二模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D点作DE⊥AC于E．
（1）试判断DE是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若tanB=，DE=4，求⊙O的直径．

Answer

（1）要证DE是⊙O的切线，只要连接OD，再利用已知条件证∠ODE=90°即可；
（2）根据三角函数求出CD，AC的长，由于AC=AB，即得出了直径的长度．
【解析】
（1）DE是⊙O的切线．
理由如下：
如图，连接OD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵OB=OD，
∴∠B=∠BDO，
∴∠C=∠BDO，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）如图，连接AD，
∵∠B=∠C，tanB=，
∴tanC=，
∴∠C=30°．
在Rt△DEC中
∵sinC=sin30°=，
∴CD=2DE=8，
在Rt△ADC中
∵cosC=cos30°=，
∴，
∴AC=16．
∴直径AB=16．