Question

（2009•宝山区二模）小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：
“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG=FH“
经过思考，大家给出了以下两个方案：
（甲）过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N；
（乙）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N；
小杰和他的同学顺利的解决了该题后，大家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索．
…
（1）对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）；

（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB=2，BC=3（如图2），试探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论；
（3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为（如图3），试求EG的长度．

Answer

（1）无论选甲还是选乙都是通过构建全等三角形来求解．甲中，通过证△AMB≌△BNC来得出所求的结论．乙中，通过证△AMB≌△ADN来得出结论；
（2）同（1）一样，只不过将全等三角形该成了相似三角形，通过相似三角形得出的对应线段成比例来得出EG：FH=3：2；
（3）按（1）的思路也要通过构建全等三角形来求解，可过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N，将△AND绕点A旋转到△APB，不难得出△APM和△ANM全等，那么可得出PM=MN，而MB的长可在直角三角形ABM中根据AB和AM（即HF的长）求出．如果设DN=x，那么NM=PM=BM+x，MC=BC-BM=1-BM，因此可在直角三角形MNC中用勾股定理求出DN的长，进而可在直角三角形AND中求出AN即EG的长．
（1）证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N
∴AM=HF，AN=EG
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=∠ADN=90°，
∵EG⊥FH
∴∠NAM=90°
∴∠BAM=∠DAN
在△ABM和△ADN中，∠BAM=∠DAN，AB=AD，∠ABM=∠ADN
∴△ABM≌△ADN，
∴AM=AN
即EG=FH；

（2）结论：EG：FH=3：2
证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N
∴AM=HF，AN=EG，
∵长方形ABCD，
∴∠BAD=∠ADN=90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM=90°，
∴∠BAM=∠DAN，
∴△ABM∽△ADN，
∴，
∵AB=2BC=AD=3，
∴；

（3）【解析】
过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N，
∵AB=1，AM=FH=
∴在Rt△ABM中，BM=
将△AND绕点A旋转到△APB，
∵EG与FH的夹角为45°，
∴∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠MAB=45°，
即∠PAM=∠MAN=45°，
从而△APM≌△ANM，
∴PM=NM，
设DN=x，则NC=1-x，NM=PM=+x
在Rt△CMN中，（+x）2=+（1-x）2，
解得x=，
∴EG=AN==，
答：EG的长为．