Question

（2010•莆田）如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，点D为劣弧的中点．
（1）求证：四边形AOBD是菱形；
（2）延长线段BO至点P，交⊙O于另一点C，且BP=3OB，求证：AP是⊙O的切线．

Answer

（1）连接OD．则∠AOD=∠DOB=60°，△AOD、△BOD都是等边三角形，所以四边形四边都相等，判定为菱形；
（2）要证明AP是⊙O的切线，只需证出OA⊥PA即可．连接AC，易证△APB为等边三角形，得AC=CO；根据BP=3OB，可得PC=CO，所以AC=PO，从而得∠PAO=90°．
证明：（1）连接OD．
∵∠AOB=120°，点D为劣弧的中点，
∴∠AOD=∠DOB=60°．
∵OA=OD=OB，
∴△AOD、△BOD都是等边三角形，
∴OA=OB=BD=AD，
∴四边形AOBD是菱形；

（2）连接AC．
∵BP=3OB，OB=OC，
∴PC=CO．
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=60°．
又OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，AC=OC．
∴AC=PO．
∴∠PAO=90°．
∴OA⊥PA，
∴AP是⊙O的切线．