Question

（2010•莆田）如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=1，OC=2，点D在边OC上且OD=．
（1）求直线AC的解析式；
（2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得△DMC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）抛物线y=-x²经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D和点E（点E在y轴的正半轴上），且△ODE沿DE折叠后点O落在边AB上O′处．

Answer

（1）设直线AC的解析式y=kx+b，将A、C两点坐标代入即可求解；
（2）由题意得：若△DMC为等腰三角形，则可分为三种情况讨论，即DC为底；DM为底；CM为底三种情况；
（3）可根据对称性求得点O′的坐标，然后求得点E的坐标，由待定系数法求得新抛物线的解析式即可求得．
【解析】
（1）设直线AC的解析式y=kx+b，
又∵OA=1，OC=2，
∴A（0，1），C（2，0）代入函数解析式求得：k=，b=1
直线AC的函数解析式：y=

（2）若DC为底边，
∴M的横坐标为，
则点M的坐标为（，）
∴直线DM解析式为：y=x-，
∴P（0，-）；
若DM为底，则CD=CM=，
∴AM=AN=-，
∴N（-，1），
可求得直线DM的解析式为y=（+2）x-（+2），
∴P（0，）
若CM为底，则CD=DM=
∴点M的坐标为（，）
∴直线DM的解析式为y=-x+，
∴点P的坐标为（0，）

（3）根据对称性可得点O′的坐标为（，1）或（2，1）
∴点E的坐标为（0，）或（0，）
∴设新抛物线的解析式为y=-（x-h）2+k
∴h=，k=或h=，k=，
∴抛物线y=-x2经过向左平移个单位，再向上平移个单位；或向右平移个单位，向上平移个单位．