Question

（2009•江津区）如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．

Answer

（1）根据题意可知，将点A、B代入函数解析式，列得方程组即可求得b、c的值，求得函数解析式；
（2）根据题意可知，边AC的长是定值，要想△QAC的周长最小，即是AQ+CQ最小，所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A的对称点B，求得直线BC的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；
（3）存在，设得点P的坐标，将△BCP的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点P的坐标．
【解析】
（1）将A（1，0），B（-3，0）代y=-x2+bx+c中得
（2分）
∴（3分）
∴抛物线解析式为：y=-x2-2x+3；（4分）

（2）存在（5分）
理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称
∴直线BC与x=-1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小
∵y=-x2-2x+3
∴C的坐标为：（0，3）
直线BC解析式为：y=x+3（6分）
Q点坐标即为
解得
∴Q（-1，2）；（7分）

（3）存在．（8分）
理由如下：设P点（x，-x2-2x+3）（-3＜x＜0）
∵S△BPC=S四边形BPCO-S△BOC=S四边形BPCO-
若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大，
∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC（9分）
=BE•PE+OE（PE+OC）
=（x+3）（-x2-2x+3）+（-x）（-x2-2x+3+3）
=
当x=-时，S四边形BPCO最大值=
∴S△BPC最大=（10分）
当x=-时，-x2-2x+3=
∴点P坐标为（-，）．（11分）