Question

（2010•晋江市质检）如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．
（1）填空：∠ACB=______度；
（2）当点D在线段AM上（点D不运动到点A）时，试求出的值；
（3）若AB=8，以点C为圆心，以5为半径作⊙C与直线BE相交于点P、Q两点，在点D运动的过程中（点D与点A重合除外），试求PQ的长．

Answer

（1）三角形内角和是180°，等边三角形的内角都相等，所以，其中一个内角的度数是180°÷3；
（2）求证△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质求出的值；
（3）①当点D在线段AM上（不与点A重合）时，作Rt△CBH，在直角三角形中，利用勾股定理求得；②当点D在线段AM的延长线上时，求证△ACD≌△BCE，然后求值；③当点D在线段MA的延长线上时，求证△ACD≌△BCE后求值．
【解析】
（1）60；（3分）

（2）如图（2），

∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE
∴∠ACD=∠BCE（5分）
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD=BE，
∴=1（7分）

（3）如图（3），

①当点D在线段AM上（不与点A重合）时，由（2）可知△ACD≌△BCE，则∠CBE=∠CAD=30°，作CH⊥BE于点H，则PQ=2HQ，连接CQ，则CQ=5．在Rt△CBH中，∠CBH=30°，BC=AB=8，则CH=BC•sin30°=8×=4．
在Rt△CHQ中，由勾股定理得：HQ=，则PQ=2HQ=6．（9分）
②如图5，当点D在线段AM的延长线上时，
∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CBE=∠CAD=30°，同理可得：PQ=6（11分）
③如图4，当点D在线段MA的延长线上时，∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ACB=180°
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CBE=∠CAD
∵∠CAM=30°
∴∠CBE=∠CAD=150°
∴∠CBQ=30°
同理可得：PQ=6
综上，PQ的长是6．（13分）