Question

（2010•鲤城区质检）如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，以CB为直径的⊙O交CA于点E，过点E作AB的平行线交CB于点F，交⊙O于点G，若⊙O的半径为5，EG=8．
（1）求BF的长；
（2）若点D是AB的中点，连接DE．
①证明：DE是⊙O的切线；
②求直角梯形BDEF的腰（DE）长．

Answer

（1）连接OE，由于EG∥AB，∠ABC=90°，EG=8，易证OF⊥EG，再利用垂径定理可知EF=FG；在Rt△OEF中利用勾股定理可求OF，即可求BF；
（2）①由于BC是直径，那么∠BEC=∠AEB=90°，而D是AB中点，则DE=DB，于是∠DEB=∠DBE，同理OB=OD，也有∠OEB=∠OBE；由于∠ABC=∠DBE+∠OBE=90°，所以有∠DEB+∠OEB=90°，即DE是⊙O的切线；
②过点D作DH⊥EG于H，易证四边形HDBF是矩形，设DE=x，由于∠ABC=90°，则AB是⊙O的切线；由①知DE是⊙O的切线，于是可得BD=DE=x，矩形HDBF中有HF=BD=x；在Rt△DEH中，利用勾股定理可得关于x的一元二次方程，解即可求DE．
（1）【解析】
连接OE．（1分）
∵EG∥AB，∠ABC=90°，EG=8，
∴OF⊥EG（2分）
∴EF=FG=4（3分）
在Rt△OEF中由勾股定理得==3，
∴BF=OB-OF=5-3=2（4分）

（2）①证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BEC=∠AEB=90°，（5分）
∵点D是AB的中点，
∴ED=BD，
∴∠DEB=∠DBE，（6分）
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠OBE，
∵∠OED=∠OEB+∠DEB=∠DBE+∠OBE=∠DBC=90°，
∴DE是⊙O的切线；（7分）
②【解析】
过点D作DH⊥EG于H，设DE=x，（8分）
∵∠ABC=90°，
∴AB是⊙O的切线，
由①知DE是⊙O的切线，
∴BD=DE=x，矩形HDBF中有HF=BD=x，（9分）
∴EH=4-x，
在Rt△DEH中，∠DHE=90°，由勾股定理得DE2=EH2+DH2，
∴x2=（4-x）2+22，
解得，即DE的长为．（10分）