Question

（2010•三明）正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．
（1）如图①，若点E在上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE=AE．请你说明理由；
（3）如图②，若点E在上．写出线段DE、BE、AE之间的等量关系．（不必证明）

Answer

（1）中易证AD=AB，EB=DF，所以只需证明∠ADF=∠ABE，利用同弧所对的圆周角相等不难得出，从而证明全等；
（2）中易证△AEF是等腰直角三角形，所以EF=AE，所以只需证明DE-BE=EF即可，由BE=DF不难证明此问题；
（3）类比（2）不难得出（3）的结论．
【解析】
（1）在正方形ABCD中，AB=AD（1分）
∵∠1和∠2都对，
∴∠1=∠2，（3分）
在△ADF和△ABE中，
，
∴△ADF≌△ABE（SAS）；（4分）

（2）由（1）有△ADF≌△ABE，
∴AF=AE，∠3=∠4．（5分）
在正方形ABCD中，∠BAD=90°．
∴∠BAF+∠3=90°．
∴∠BAF+∠4=90°．
∴∠EAF=90°．（6分）
∴△EAF是等腰直角三角形．
∴EF2=AE2+AF2．
∴EF2=2AE2．（7分）
∴EF=AE．（8分）
即DE-DF=AE．
∴DE-BE=AE．（9分）

（3）BE-DE=AE．理由如下：（12分）
在BE上取点F，使BF=DE，连接AF．
易证△ADE≌△ABF，
∴AF=AE，∠DAE=∠BAF．（5分）
在正方形ABCD中，∠BAD=90°．
∴∠BAF+∠DAF=90°．
∴∠DAE+∠DAF=90°．
∴∠EAF=90°．（6分）
∴△EAF是等腰直角三角形．
∴EF2=AE2+AF2．
∴EF2=2AE2．（7分）
∴EF=AE．（8分）
即BE-BF=AE．
∴BE-DE=AE．（9分）