Question

如图，直线AB过点A（m，0）、B（0，n）（其中m＞0，n＞0）．反比例函数（p＞0）的图象与直线AB交于C、D两点，连接OC、OD．
（1）已知m+n=10，△AOB的面积为S，问：当n何值时，S取最大值？并求这个最大值；
（2）若m=8，n=6，当△AOC、△COD、△DOB的面积都相等时，求p的值．

Answer

（1）根据题意，得：OA=m，OB=n，又由m+n=10，得m=10-n，进而可得S关于m、n的关系式，结合二次函数的性质计算可得答案；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意，可得关于k、b的关系式，过点D、C分别作x轴的垂线，垂足分别点E、F，由△AOC、△COD、△DOB的面积都相等，可得关系式，解可得答案．
【解析】
（1）根据题意，得：OA=m，OB=n，
所以S=mn，（1分）
又由m+n=10，得m=10-n，
得：S=n（10-n）=-n2+5n（2分）
=-（n-5）2+（3分）
∵-，∴当n=5时，S取最大值（4分）

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，
因为直线AB过点A（8，0），B（0，6）
所以，
解得：，b=6，
所以直线AB的函数关系式为（6分）
过点D、C分别作x轴的垂线，垂足分别点E、F，
当△AOC、△COD、△DOB的面积都相等时，
有S△AOC=S△AOB，即OA×CF=×OA×OB，
所以CF=2（8分）
即C点的纵坐标为2
将y=2代入，得（9分）
即点C的坐标为
因为点C在反比例函数图象上
所以（10分）